Geometría del plano y el espacio (revisited)

En esta sección repasaremos los elementos de la geometría vectorial en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\), es decir, definiciones y las operaciones básicas, así como resulados importantes sobre vectores que se usarán a lo largo del curso. Cabe mencionar que Álgebra a Lineal no solo son vectores en el espacio euclidiano, esta disciplina va más allá de un sistema coordenado.

Para representar vectores suelen emplearse letras en negritas o con superflechas, es decir:
a, b, X, Y, V, \(\large \overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{X}\), \(\overrightarrow{Y}\), \(\overrightarrow{V}\).

Si \(P\) y \(Q\) representan puntos en el espacio, entonces el segmento dirigido que va de \(P\) a \(Q\) se puede escribir como:
\(\bf{v}=\overline{\mathrm{\it PQ}}=\overrightarrow{PQ}\).

Los vectores en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) se pueden escribir como pares ordenados o ternas ordenadas, respectivamente, esto es

\({\bf x}=(x_1,x_2) \), \({\bf y}=(y_1,y_2,y_3) \).

Donde cada coordenada puede ser un número: \(\large \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\), o bien otro tipo de objeto.
Nota: En muchos ejemplos que aparecen en los libros, los vectores suelen tener coordenadas enteras, por facilidad operacional y regla didáctica.

La estructura algebráica de los vectores incluye dos operaciones básicas suma y producto por escalares.
Suma
Si \({\bf A},{\bf B}\) son vectores, entonces \({\bf A}+{\bf B}\) es un nuevo vector resultado de la suma de los anteriores.

Producto por escalares
Si \({\bf A}\) es un vector y \(\alpha\) es un escalar, entonces \(\alpha {\bf A}\)  es el vector resultante de multiplicar las cantidades dadas.

Las operaciones anteriores satisfacen las siguientes propiedades

Conmutatividad
Dados los vectores \({\bf A}, {\bf B}\) entonces \({\bf A}+ {\bf B}={\bf B}+{\bf A}\).

Asociatividad sobre la suma
Dados los vectores \({\bf A}, {\bf B}, {\bf C}\) entonces \(({\bf A}+ {\bf B})+{\bf C}={\bf A}+({\bf B}+{\bf C}\).

Inverso aditivo
Para cada\({\bf A}\) y el escalar \(\alpha=-1\), se tiene que  \(\alpha{\bf A}=-{\bf A}\) es tal que  \({\bf A}+ {-\bf A}={\bf 0}\). Donde el cero es una cantidad vectorial.

Neutro aditivo
Para todo\({\bf A}\) vector, existe un vector \({\bf 0}\), llamado vector nulo o vector cero, es tal que \({\bf A}+ {\bf 0}={\bf A}\). Donde este vector tiene magnitud nula y cualquier dirección.

Asociatividad sobre el producto de escalares
Dados los escalares \(\alpha.\beta\) y el vector \({\bf A}\) entonces \(\alpha(\beta{\bf A})=(\alpha\beta){\bf A}\).

Distributividad
Dados \({\bf A}, {\bf B}\) y \(\alpha\) entonces \(\alpha({\bf A}+ {\bf B})=\alpha{\bf A}+ \alpha{\bf B}\). De manera similar, dados \(\alpha, \beta\) y \({\bf A}\) entonces \((\alpha+\beta) {\bf A }= \alpha{\bf A}+\beta {\bf A}\).

Posteriormente  los vectores serán tratados como esos objetos abstractos que son elementos de un espacio vectorial, así como se vió en la noción de conjunto.