Geometría del plano y el espacio (revisited)

La estructura algebráica de los vectores incluye dos operaciones básicas suma y producto por escalares.
Suma
Si \({\bf A},{\bf B}\) son vectores, entonces \({\bf A}+{\bf B}\) es un nuevo vector resultado de la suma de los anteriores.

Producto por escalares
Si \({\bf A}\) es un vector y \(\alpha\) es un escalar, entonces \(\alpha {\bf A}\)  es el vector resultante de multiplicar las cantidades dadas.

Las operaciones anteriores satisfacen las siguientes propiedades

Conmutatividad
Dados los vectores \({\bf A}, {\bf B}\) entonces \({\bf A}+ {\bf B}={\bf B}+{\bf A}\).

Asociatividad sobre la suma
Dados los vectores \({\bf A}, {\bf B}, {\bf C}\) entonces \(({\bf A}+ {\bf B})+{\bf C}={\bf A}+({\bf B}+{\bf C}\).

Inverso aditivo
Para cada\({\bf A}\) y el escalar \(\alpha=-1\), se tiene que  \(\alpha{\bf A}=-{\bf A}\) es tal que  \({\bf A}+ {-\bf A}={\bf 0}\). Donde el cero es una cantidad vectorial.

Neutro aditivo
Para todo\({\bf A}\) vector, existe un vector \({\bf 0}\), llamado vector nulo o vector cero, es tal que \({\bf A}+ {\bf 0}={\bf A}\). Donde este vector tiene magnitud nula y cualquier dirección.

Asociatividad sobre el producto de escalares
Dados los escalares \(\alpha.\beta\) y el vector \({\bf A}\) entonces \(\alpha(\beta{\bf A})=(\alpha\beta){\bf A}\).

Distributividad
Dados \({\bf A}, {\bf B}\) y \(\alpha\) entonces \(\alpha({\bf A}+ {\bf B})=\alpha{\bf A}+ \alpha{\bf B}\). De manera similar, dados \(\alpha, \beta\) y \({\bf A}\) entonces \((\alpha+\beta) {\bf A }= \alpha{\bf A}+\beta {\bf A}\).

Posteriormente  los vectores serán tratados como esos objetos abstractos que son elementos de un espacio vectorial, así como se vió en la noción de conjunto.